与えられた式を因数分解する。 (1) $4x^2 + 16x^2 + x^2y^2 - 12x^2 - 4xy^2 + 3y^2$ (2) $2x^2 + xy - 6y^2 + 5x - 4y + 2$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する。

(1) $4x^2 + 16x^2 + x^2y^2 - 12x^2 - 4xy^2 + 3y^2$

(2) $2x^2 + xy - 6y^2 + 5x - 4y + 2$

2. 解き方の手順

(1) 同類項をまとめる。

$4x^2 + 16x^2 + x^2y^2 - 12x^2 - 4xy^2 + 3y^2 = (4+16-12)x^2 + (1-4)x y^2 + 3y^2 = 8x^2 - 3xy^2 + 3y^2$

$8x^2 - 3xy^2 + 3y^2$

$y$ について整理する。

$8x^2 + y^2(-3x + 3)$

$8x^2 - 3xy^2 + 3y^2 = 8x^2 + 3y^2(1-x)$

(2) 与えられた式を因数分解する。

$2x^2 + xy - 6y^2 + 5x - 4y + 2$

$x$ について整理すると、

$2x^2 + (y+5)x - 6y^2 - 4y + 2$

定数項を因数分解する。

$-6y^2 - 4y + 2 = -2(3y^2 + 2y - 1) = -2(3y-1)(y+1)$

$2x^2 + (y+5)x - 2(3y-1)(y+1)$

$(2x+ay+b)(x+cy+d) = 2x^2 + (2c+a)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$ac=-6$, $2c+a = 1$, $ad+bc=-4$, $bd=2$

$y+5 = (px+qy+r)(sx+ty+u)$

$2x^2 + (y+5)x - (6y^2 + 4y - 2)$

$2x^2 + (y+5)x - 2(3y^2 + 2y - 1)$

$2x^2 + (y+5)x - 2(3y-1)(y+1)$

$(2x + 3y - 1)(x - 2y + 2)$

$(2x+ay+b)(x+cy+d)$

$2x^2+ 2c xy + 2dx + axy + acy^2 + ady + bx + bcy + bd = 2x^2 + (2c+a)xy + ac y^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$2x^2 + xy - 6y^2 + 5x - 4y + 2 = (2x+3y-1)(x-2y+2)$

$ac = -6$, $2c+a = 1$, $2d+b = 5$, $ad+bc = -4$, $bd = 2$

$a = 3, c = -2, b = -1, d = 2$

3. 最終的な答え

(1) $8x^2+3y^2(1-x)$

(2) $(2x+3y-1)(x-2y+2)$