与えられた式 $x^4 - x^3 - x + 1 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - x^3 - x + 1 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を因数分解します。

$x^4 - x^3 - x + 1 = 0$ の左辺を整理するために、項をグループ化して共通因数でくくります。

$x^4 - x^3 - x + 1 = x^3(x-1) - (x-1)$

次に、共通因数 $(x-1)$ でくくります。

$x^3(x-1) - (x-1) = (x-1)(x^3 - 1)$

$x^3 - 1$ は $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ という因数分解の公式を利用して、$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ と因数分解できます。したがって、

$(x-1)(x^3 - 1) = (x-1)(x-1)(x^2 + x + 1) = (x-1)^2(x^2 + x + 1)$

したがって、与えられた方程式は次のようになります。

$(x-1)^2(x^2 + x + 1) = 0$

この式を満たす $x$ を求めるには、各因数が 0 になる場合を考えます。

$(x-1)^2 = 0$ の場合、$x-1 = 0$ となり、$x = 1$ が解となります。

$x^2 + x + 1 = 0$ の場合、二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1$, $b=1$, $c=1$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ と $x = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$