## 解き方の手順 ### 問題1 1. $2^x = t$ とおく。すると、$2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t}$ となる。

## 問題の内容

1. $2^x + 2^{-x} = 3$ を満たす $x$ を求め、また$3^{14}$が何桁の数であるか、さらに最高位の数を求める。

## 解き方の手順

### 問題1

1. $2^x = t$ とおく。すると、$2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t}$ となる。

2. 元の式に代入すると、$t + \frac{1}{t} = 3$ となる。

3. 両辺に $t$ をかけると、$t^2 + 1 = 3t$ となり、$t^2 - 3t + 1 = 0$ となる。

4. この二次方程式を解く。解の公式より、$t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ となる。

5. $t = 2^x$ より、$2^x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ または $2^x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ となる。

6. $x$ の個数を求める。$2^x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ と $2^x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ はそれぞれ異なる $x$ の値を持つので、$x$ は2個存在する。

### 問題2

1. $\log_{10} 3^{14}$ を計算する。対数の性質より、$\log_{10} 3^{14} = 14 \log_{10} 3$ である。$\log_{10} 3 = 0.4771$ より、$14 \log_{10} 3 = 14 \cdot 0.4771 = 6.6794$ となる。

2. $3^{14}$ の桁数を求める。$\log_{10} 3^{14} = 6.6794$ より、$3^{14} = 10^{6.6794} = 10^{6} \cdot 10^{0.6794}$ となる。$10^{6}$ は100万を表すので、$3^{14}$ は7桁の数である。

3. $\log_{10} 4$ を計算する。$\log_{10} 4 = \log_{10} 2^2 = 2 \log_{10} 2$ である。

4. $\log_{10} 5$ を計算する。$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ である。

5. $3^{14}$ の最高位の数を求める。$\log_{10} 3^{14} = 6.6794$ である。小数部分の $0.6794$ を見る。$\log_{10} 4 = 2 \log_{10} 2 = 2 \cdot 0.3010 = 0.6020$、$\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$ である。$0.6020 < 0.6794 < 0.6990$ より、$4 < 10^{0.6794} < 5$ である。したがって、$3^{14}$ の最高位の数は4である。

## 最終的な答え

問題1:

- $t^2 -$ 3 $t +$ 1 $= 0$

- $t = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

- 選択肢: $\pm$ (3)

- $x$ の個数: 2 個

問題2:

- $\log_{10} 3^{14} =$ 14 $\log_{10} 3$

- $3^{14}$ は 7 桁の数である。

- $\log_{10} 4 =$ 2 $\log_{10} 2$

- $\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} =$ 1 $- \log_{10} 2$

- $3^{14}$ の最高位の数: 4