ある高校の1年生が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなる。1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

1. 問題の内容

ある高校の1年生が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなる。1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

2. 解き方の手順

長椅子の数を $x$ 脚とする。

(1) 6人ずつ座る場合

全体の人数は $6x + 15$ 人と表せる。

(2) 7人ずつ座る場合

使わない長椅子が3脚できるので、実際に使っている長椅子は $x - 3$ 脚である。しかし、最後の長椅子には1人以上7人以下が座っている可能性がある。

* 最小の場合：$x-4$脚に7人ずつ座り、最後の1脚に1人座っている場合。

このときの人数は $7(x-4) + 1$ 人以上となる。

* 最大の場合：$x-4$脚に7人ずつ座り、最後の1脚に7人座っている場合。

このときの人数は $7(x-4) + 7 = 7(x-3)$ 人以下となる。

したがって、人数について次の不等式が成り立つ。

$7(x-4) + 1 \le 6x + 15 \le 7(x-3)$

この不等式を2つに分けて解く。

(a) $7(x-4) + 1 \le 6x + 15$

$7x - 28 + 1 \le 6x + 15$

$7x - 27 \le 6x + 15$

$x \le 42$

(b) $6x + 15 \le 7(x-3)$

$6x + 15 \le 7x - 21$

$36 \le x$

$x \ge 36$

したがって、$36 \le x \le 42$ である。

3. 最終的な答え

長椅子の数は36脚以上42脚以下。