自然数 $a, b$ について、集合 $A = \{1, 3a+1, 2b\}$ と $B = \{a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b\}$ が与えられている。 (1) $A \subset B$ となるような $a, b$ の値を求める。 (2) $A \cap B = \{4, 10\}$ となるような $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

自然数 $a, b$ について、集合 $A = \{1, 3a+1, 2b\}$ と $B = \{a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b\}$ が与えられている。

(1) $A \subset B$ となるような $a, b$ の値を求める。

(2) $A \cap B = \{4, 10\}$ となるような $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A \subset B$ の場合

集合 $A$ の要素は $1, 3a+1, 2b$ であり、これらはすべて $B$ の要素でなければならない。

まず、$1 \in B$ より、$a+1 = 1$, $b-1 = 1$, $2a+2b = 1$, $5a+b = 1$ のいずれかが成り立つ。

- $a+1 = 1$ ならば $a=0$ となり、$a$ が自然数という条件に反するので不適。

- $b-1 = 1$ ならば $b=2$。

- $2a+2b = 1$ ならば $2a = 1-2b$ となり、右辺は負となるため $a$ が自然数という条件に反するので不適。

- $5a+b = 1$ ならば $a$も$b$も自然数という条件に反するので不適。

したがって、上記から$b = 2$。このとき、$A = \{1, 3a+1, 4\}$, $B = \{a+1, 1, 2a+4, 5a+2\}$ となる。

$3a+1 \in B$ であり、$3a+1 = a+1$ のとき、$2a = 0$ より $a=0$ となり、$a$ が自然数という条件に反するので不適。

$3a+1 = 1$ のとき、$3a = 0$ より $a=0$ となり、$a$ が自然数という条件に反するので不適。

$3a+1 = 2a+4$ のとき、$a = 3$。このとき、$A = \{1, 10, 4\}$, $B = \{4, 1, 10, 17\}$となり、$A \subset B$ を満たす。

$3a+1 = 5a+2$ のとき、$2a = -1$ より $a = -1/2$ となり、$a$ が自然数という条件に反するので不適。

よって、$a=3$, $b=2$ が解の候補。

$A = \{1, 10, 4\}$ であり、$B = \{4, 1, 10, 17\}$。

このとき、$A \subset B$ が成り立つ。

(2) $A \cap B = \{4, 10\}$ の場合

$A \cap B = \{4, 10\}$ であるから、$4 \in A$ かつ $10 \in A$ かつ $4 \in B$ かつ $10 \in B$ である。

$A = \{1, 3a+1, 2b\}$ より、$3a+1 = 4$ または $2b = 4$ または $3a+1 = 10$ または $2b = 10$。

$3a+1 = 4$ のとき、$3a = 3$ より $a=1$。

$2b = 4$ のとき、$b=2$。

$3a+1 = 10$ のとき、$3a = 9$ より $a=3$。

$2b = 10$ のとき、$b=5$。

$B = \{a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b\}$ より、$a+1 = 4$ または $b-1 = 4$ または $2a+2b = 4$ または $5a+b = 4$ または $a+1 = 10$ または $b-1 = 10$ または $2a+2b = 10$ または $5a+b = 10$。

$a+1 = 4$ のとき、$a=3$。

$b-1 = 4$ のとき、$b=5$。

$2a+2b = 4$ のとき、$a+b = 2$。

$5a+b = 4$ のとき、$b = 4-5a$。

$a+1 = 10$ のとき、$a=9$。

$b-1 = 10$ のとき、$b=11$。

$2a+2b = 10$ のとき、$a+b = 5$。

$5a+b = 10$ のとき、$b = 10-5a$。

考えられる $a, b$ の組み合わせを調べる。

- $a=1$ のとき、$A = \{1, 4, 2b\}$。

$B = \{2, b-1, 2+2b, 5+b\}$。$A \cap B = \{4, 10\}$ となるには $2b = 10$ より $b=5$。

$A = \{1, 4, 10\}$、$B = \{2, 4, 12, 10\}$、$A \cap B = \{4, 10\}$ となり条件を満たす。

- $b=2$ のとき、$A = \{1, 3a+1, 4\}$。

$B = \{a+1, 1, 2a+4, 5a+2\}$。$A \cap B = \{4, 10\}$ となるには $3a+1 = 10$ より $a=3$。

$A = \{1, 10, 4\}$、$B = \{4, 1, 10, 17\}$、$A \cap B = \{10, 4\}$ となり条件を満たす。

- $a=3$ のとき、$A = \{1, 10, 2b\}$。

$B = \{4, b-1, 6+2b, 15+b\}$。$A \cap B = \{4, 10\}$ となるには $2b=4$ であれば、$A = \{1, 10, 4\}$ なので $B = \{4, b-1, 6+2b, 15+b\}$に10が存在する必要がある。このとき、$b-1=10$つまり$b=11$, $6+2b = 10$ つまり$2b=4$ で $b=2$ または $15+b = 10$ つまり $b = -5$。$A \cap B = \{4, 10\}$ となるような $b$ は存在しない。

- $b=5$ のとき、$A = \{1, 3a+1, 10\}$。

$B = \{a+1, 4, 2a+10, 5a+5\}$。$A \cap B = \{4, 10\}$ となるには $3a+1=4$ より $a=1$。

$A = \{1, 4, 10\}$、$B = \{2, 4, 12, 10\}$、$A \cap B = \{4, 10\}$ となり条件を満たす。

したがって、$a=1, b=5$ と $a=3, b=2$ が解の候補。

3. 最終的な答え

(1) $a=3, b=2$

(2) $a=1, b=5$ と $a=3, b=2$