二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x$ を平方完成させ、そのグラフをかく。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x$ を平方完成させ、そのグラフをかく。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成させます。

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 6x)$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9 - 9)$

$y = -\frac{1}{2}((x+3)^2 - 9)$

$y = -\frac{1}{2}(x+3)^2 + \frac{9}{2}$

平方完成された式は $y = -\frac{1}{2}(x+3)^2 + \frac{9}{2}$ となります。

次に、グラフの形状を考えます。平方完成された式から、このグラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(-3, \frac{9}{2})$ であることがわかります。また、$y$軸との交点は、元の式で $x=0$ とすると、$y=0$ なので、原点を通ります。$x$軸との交点は、$y=0$とすると、 $-\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0$ より、 $-\frac{1}{2}x(x+6)=0$ なので、$x=0, -6$ となります。

3. 最終的な答え

平方完成させた式: $y = -\frac{1}{2}(x+3)^2 + \frac{9}{2}$

グラフ: 上に凸の放物線。頂点の座標は $(-3, \frac{9}{2})$。$x$軸との交点は $(0,0)$と$(-6,0)$。