多項式 $ax^2 + bx - 4$ を $x+1$ で割ったときの余りが $0$ で、$x-1$ で割ったときの余りと $x-2$ で割ったときの余りが等しいとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $ax^2 + bx - 4$ を $x+1$ で割ったときの余りが $0$ で、$x-1$ で割ったときの余りと $x-2$ で割ったときの余りが等しいとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $ax^2 + bx - 4$ を $x+1$ で割った余りが $0$ であることから、剰余の定理より、

$a(-1)^2 + b(-1) - 4 = 0$

$a - b - 4 = 0$

$a - b = 4$ ...(1)

(2) $ax^2 + bx - 4$ を $x-1$ で割った余りと $x-2$ で割った余りが等しいことから、剰余の定理より、

$a(1)^2 + b(1) - 4 = a(2)^2 + b(2) - 4$

$a + b - 4 = 4a + 2b - 4$

$a + b = 4a + 2b$

$3a + b = 0$ ...(2)

(3) (1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より、 $a = b + 4$

これを(2)に代入すると、

$3(b+4) + b = 0$

$3b + 12 + b = 0$

$4b = -12$

$b = -3$

(4) $a = b + 4$ に $b = -3$ を代入すると、

$a = -3 + 4 = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -3$