次の方程式を解きます。 $|2x| + |x-2| = 6$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

$|2x| + |x-2| = 6$

2. 解き方の手順

絶対値記号が含まれているため、場合分けをして考えます。

$2x$ の絶対値が0以上になるのは $x \geq 0$ のとき、負になるのは $x < 0$ のときです。

$x-2$ の絶対値が0以上になるのは $x \geq 2$ のとき、負になるのは $x < 2$ のときです。

したがって、以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < 0$ のとき

このとき、$2x < 0$ かつ $x - 2 < 0$ なので、$|2x| = -2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$ となります。

したがって、方程式は

$-2x -x + 2 = 6$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

これは $x < 0$ を満たすので、解となります。

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき

このとき、$2x \geq 0$ かつ $x - 2 < 0$ なので、$|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$ となります。

したがって、方程式は

$2x - x + 2 = 6$

$x = 4$

これは $0 \leq x < 2$ を満たさないので、解ではありません。

(iii) $x \geq 2$ のとき

このとき、$2x > 0$ かつ $x - 2 \geq 0$ なので、$|2x| = 2x$ かつ $|x-2| = x-2$ となります。

したがって、方程式は

$2x + x - 2 = 6$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

これは $x \geq 2$ を満たすので、解となります。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$