与えられた6つの行列の行列式をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列の行列式をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1x1行列の場合、行列式は要素そのものです。

(2) 2x2行列の場合、行列式は $ad-bc$ で計算されます。ここで、行列は

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

です。

(3) 3x3以上の行列の場合、サラスの公式や余因子展開を用いて行列式を計算します。ただし、行列に0が多い場合は、行または列に関する余因子展開を行うと計算が楽になることがあります。

(4) 与えられた行列について、それぞれ行列式を計算します。

(1)

$det([2]) = 2$

(2)

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$

(3)

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1(5 \times 9 - 6 \times 8) - 2(4 \times 9 - 6 \times 7) + 3(4 \times 8 - 5 \times 7) = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = -3 - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0$

(4)

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0(0 \times 0 - 1 \times 2) - 1(1 \times 0 - 1 \times 2) + 2(1 \times 2 - 0 \times 2) = 0 - 1(-2) + 2(2) = 0 + 2 + 4 = 6$

(5)

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。

$det = (1)(1)(1)(1) = 1$

(6)

$\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

1行目で展開します。

$det = -2\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & 0 & 3 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} -1\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$

$= -2[1(15-0) - 4(3-6) + 2(0-15)] - [0(15-0) - 4(9-2) + 2(0-5)] - [0(3-6) - 1(9-2) + 2(9-1)] - 0$

$= -2[15+12-30] - [0-28-10] - [0-7+16]$

$= -2[-3] - [-38] - [9] = 6+38-9 = 35$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) -1

(3) 0

(4) 6

(5) 1

(6) 35