問題は大きく分けて3つあります。 1. 1つ目は、与えられた行列の逆行列を求める問題です。具体的には、6つの行列が与えられ、それぞれの逆行列を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて3つあります。

1. 1つ目は、与えられた行列の逆行列を求める問題です。具体的には、6つの行列が与えられ、それぞれの逆行列を求める必要があります。

2. 2つ目は、$n$次行列A, Bに対して、以下の3つの命題を証明する問題です。

1. A, Bが正則であっても、A + Bは正則とは限らないことを示す。

2. $A^k = E$ となる$k \in \mathbb{N}$ が存在すれば、Aは正則であることを示す。

3. $A^2 = A$ かつ $A \neq E$ ならば、Aは正則でないことを示す。

3. 3つ目は、$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ に対して、$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、1番目の逆行列を求める問題について、行列のサイズによって計算方法が異なります。

* 2x2行列の場合、逆行列は以下の公式で計算できます。

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ に対して、$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

* 3x3以上の行列の場合、掃き出し法（行基本変形）を用いて逆行列を計算します。

次に、2番目の証明問題について、以下の手順で証明を行います。

1. A, Bが正則であっても、A + Bは正則とは限らないことを示すには、反例を挙げれば十分です。例えば、$A = E$、$B = -E$ とすると、AとBは正則ですが、A + B = 0となり正則ではありません。

2. $A^k = E$ となる$k \in \mathbb{N}$ が存在すれば、Aは正則であることを示すには、$A^{k-1}$ がAの逆行列となることを示します。$A \cdot A^{k-1} = A^{k-1} \cdot A = A^k = E$ より、Aは正則です。

3. $A^2 = A$ かつ $A \neq E$ ならば、Aは正則でないことを示すには、Aが正則であると仮定して矛盾を導きます。Aが正則であると仮定すると、$A^{-1}$ が存在します。$A^2 = A$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、$A = E$ となり、$A \neq E$ に矛盾します。よって、Aは正則ではありません。

最後に、3番目の問題について、

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} - (a+d)\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + (ad-bc)\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

となることを計算で示します。

3. 最終的な答え

1. **行列の逆行列** (具体的な行列の計算は省略します。上記の手順で計算してください。)

(1) $\begin{bmatrix} 1/2 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} -5/2 & 1 \\ 3/2 & 0 \end{bmatrix}$

(3) 3x3の逆行列は掃き出し法で求めます。

(4) $\begin{bmatrix} -1/2 & 2 & -1/2 \\ 1/2 & -1 & 1/4 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

(5) 掃き出し法

(6) 掃き出し法

2. **証明問題**

(1) A = E, B = -E (Eは単位行列)

(2) $A^{-1} = A^{k-1}$

(3) 背理法で示す

3. **行列の等式**

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0$