ある連立1次方程式の解のパラメータ表示が、あるベクトルとパラメータ $p, q$ を用いて $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と表されるとき、与えられた選択肢の中から正しいパラメータ表示を全て選ぶ問題です。

1. 問題の内容

ある連立1次方程式の解のパラメータ表示が、あるベクトルとパラメータ $p, q$ を用いて

$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表されるとき、与えられた選択肢の中から正しいパラメータ表示を全て選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

パラメータ表示の形が与えられているので、各選択肢が与えられたパラメータ表示と同じ解集合を表すかどうかを調べます。

まず、与えられたパラメータ表示を

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

とします。ここで、

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

とおくと、$\vec{x} = \vec{a} + p\vec{b} + q\vec{c}$ と表せます。

各選択肢について、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の線形結合で表せるかどうかを調べます。

選択肢1:

$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これは $q$ がないため、正しいパラメータ表示ではありません。

選択肢2:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これも $q$ がないため、正しいパラメータ表示ではありません。

選択肢3:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これは与えられたパラメータ表示と同じなので、正しいです。

選択肢4:

$\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

これも $q$ がないため、正しいパラメータ表示ではありません。

選択肢5:

$\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

このパラメータ表示が与えられたパラメータ表示と同じ解集合を表すかどうかを判断します。

$\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

を満たす $p, q$ が存在するかどうかを検討します。しかし、存在しなさそうです。

3. 最終的な答え

選択肢3