多項式 $P(x) = 3x^3 - ax + b$ を $x-2$ で割ったときの余りが24、$x+2$ で割ったときの余りが-16であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 3x^3 - ax + b$ を $x-2$ で割ったときの余りが24、$x+2$ で割ったときの余りが-16であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(2) = 24$ および $P(-2) = -16$ が成り立つ。

まず、$P(2) = 24$ を計算する。

$P(2) = 3(2)^3 - a(2) + b = 3(8) - 2a + b = 24 - 2a + b = 24$

したがって、

$-2a + b = 0$

次に、$P(-2) = -16$ を計算する。

$P(-2) = 3(-2)^3 - a(-2) + b = 3(-8) + 2a + b = -24 + 2a + b = -16$

したがって、

$2a + b = 8$

上記の2つの式を連立方程式として解く。

$-2a + b = 0$

$2a + b = 8$

2つの式を足し合わせると、

$2b = 8$

$b = 4$

$b=4$ を $-2a + b = 0$ に代入すると、

$-2a + 4 = 0$

$2a = 4$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 4$