与えられた連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。問題は(1)と(2)の二つあります。 (1) $ \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} $ (2) $ \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。問題は(1)と(2)の二つあります。

(1)

$\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた行列をAとすると、

$A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

この逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A^{-1}$ を求めるには、掃き出し法を用います。

$\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1行目を2倍、3行目を5倍して足すと

$\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

2行目を1行目に足すと

$\begin{bmatrix} 5 & -1 & 4 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

2行目から3行目を引くと

$\begin{bmatrix} 5 & -1 & 4 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 2 & -1 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

であることを仮定して計算を進めます。

すると、解は

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 6 \\ 1 - 12 \\ -1 + 0 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -11 \\ 2 \end{bmatrix}$

(2)

$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$A^{-1}$ を求めるには、掃き出し法を用います。

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\det(A) = 4(3+1) - 1(5+1) - 1(5-3) = 16 - 6 - 2 = 8$

$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 4 & -2 & 2 \\ -6 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 7 \end{bmatrix}$

よって、解は

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 4 & -2 & 2 \\ -6 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 4a - 2b + 2c \\ -6a + 5b + c \\ 2a - 3b + 7c \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -11 \\ 2 \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 4a - 2b + 2c \\ -6a + 5b + c \\ 2a - 3b + 7c \end{bmatrix}$