行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を計算する。 (2) $A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を計算する。 (3) $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ となる $a, b, c, d$ を求める。 (4) 自然数 $n$ に対して、$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を求め、これらを利用して $A^n$ を計算する。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を計算する。

(2) $A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を計算する。

(3) $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ となる $a, b, c, d$ を求める。

(4) 自然数 $n$ に対して、$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を求め、これらを利用して $A^n$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 行列の積を計算する。

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-4 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列の積を計算する。

$A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28-20 \\ 20-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

(3) 連立方程式を立てて解く。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+4b \\ a+5b \end{pmatrix}$

$a + 4b = 1$

$a + 5b = 0$

上の式から下の式を引くと $-b = 1$ より $b = -1$

$a + 5(-1) = 0$ より $a = 5$

したがって、$a=5, b=-1$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c+4d \\ c+5d \end{pmatrix}$

$c + 4d = 0$

$c + 5d = 1$

下の式から上の式を引くと $d = 1$

$c + 4(1) = 0$ より $c = -4$

したがって、$c=-4, d=1$

(4)

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ より $A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ より $A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 5 A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 \cdot 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n \\ 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$

$A^n \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -4 A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = -4 \cdot 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \cdot 3^n + 4 \cdot 2^n \\ -4 \cdot 3^n + 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$

したがって、

$A^n = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 4 \cdot 2^n \\ 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) $A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix}$

(3) $a=5, b=-1, c=-4, d=1$

(4) $A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $A^n = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 4 \cdot 2^n \\ 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$