与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を計算する。 (2) $A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を計算する。 (3) $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ となる $a, b, c, d$ を求める。 (4) 自然数 $n$ に対して、$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を求め、これらを利用して $A^n$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を計算する。

(2) $A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を計算する。

(3) $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ となる $a, b, c, d$ を求める。

(4) 自然数 $n$ に対して、$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ を求め、これらを利用して $A^n$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 行列とベクトルの積を計算する。

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 4 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) 行列とベクトルの積を計算する。

$A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 - 20 \\ 20 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

(3) 連立方程式を解いて、$a, b$ および $c, d$ を求める。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 4b \\ a + 5b \end{pmatrix}$ より、

$a + 4b = 1$ および $a + 5b = 0$。

これらの式から、$b = -1$ および $a = 5$ が得られる。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c + 4d \\ c + 5d \end{pmatrix}$ より、

$c + 4d = 0$ および $c + 5d = 1$。

これらの式から、$d = 1$ および $c = -4$ が得られる。

(4) (1)と(2)の結果から $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $A$ の固有値3に対応する固有ベクトルであり、$\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ は $A$ の固有値2に対応する固有ベクトルである。したがって、

$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

(3)の結果より、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

したがって、

$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 5 A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 \cdot 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n \\ 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$

$A^n \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -4 A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = -4 \cdot 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \cdot 3^n + 4 \cdot 2^n \\ -4 \cdot 3^n + 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$

ゆえに、

$A^n = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 4 \cdot 2^n \\ 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) $A \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix}$

(3) $a = 5, b = -1, c = -4, d = 1$

(4) $A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $A^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $A^n = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 4 \cdot 2^n \\ 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n & -4 \cdot 3^n + 5 \cdot 2^n \end{pmatrix}$