いくつかの数学の問題が提示されています。主に一次関数、連立方程式、図形の問題です。

1. 問題の内容

いくつかの数学の問題が提示されています。主に一次関数、連立方程式、図形の問題です。

2. 解き方の手順

(2) 直線 $y = x + b$ が点 A(2, 1) と B(-1, 4) を結ぶ線分 AB を通るとき、定数 $b$ の値の範囲を求める。

点 A を通るとき、$1 = 2 + b$ より $b = -1$

点 B を通るとき、$4 = -1 + b$ より $b = 5$

したがって、線分 AB を通るためには $-1 \le b \le 5$

(3) 一次関数 $y = ax + 8$ ($a$ は定数, $a < 0$) において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 11$ ($b$ は定数) であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

$a < 0$ より、$x$ が増加すると $y$ は減少する。

$x = -1$ のとき $y = 11$ より、$11 = -a + 8$ よって $a = -3$

$x = 2$ のとき $y = b$ より、$b = -3(2) + 8 = -6 + 8 = 2$

したがって、$a = -3$, $b = 2$

(4) 点 (-3, 0) を通り、$y$ 軸に平行な直線の式を求める。

$y$ 軸に平行な直線は $x = c$ の形で表される。

点 (-3, 0) を通るので、$x = -3$

(5) 方程式 $3x - 5y = 5$ のグラフの $y$ 軸上の切片を求める。

$y$ 軸上の切片は $x = 0$ のときの $y$ の値。

$3(0) - 5y = 5$ より、$-5y = 5$ よって $y = -1$

$y$ 軸上の切片は -1

(6) 連立方程式 $x + 2y = 6$ と $4x - y = 6$ の解をグラフから求める。

グラフにそれぞれの直線を書き込む。

$x + 2y = 6$ は $(0, 3)$ と $(6, 0)$ を通る。

$4x - y = 6$ は $(0, -6)$ と $(1.5, 0)$ を通る。

2つの直線の交点の座標を読むと、$(2, 2)$

(7) 2直線 $y = 2x - 3$ と $y = -3x + 1$ の交点の座標を求める。

$2x - 3 = -3x + 1$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

$y = 2(\frac{4}{5}) - 3 = \frac{8}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{7}{5}$

交点の座標は $(\frac{4}{5}, -\frac{7}{5})$

(8) 方程式 $2x - y = 1$ と $x + y = 5$ のグラフの交点を通り、傾きが $\frac{1}{2}$ である直線の式を求める。

$2x - y = 1$ と $x + y = 5$ を解く。

2式を足して $3x = 6$ よって $x = 2$

$2 + y = 5$ より $y = 3$

交点は (2, 3)

傾き $\frac{1}{2}$ で (2, 3) を通る直線は $y = \frac{1}{2}x + b$ に (2, 3) を代入して $3 = \frac{1}{2}(2) + b$ より $3 = 1 + b$ よって $b = 2$

求める直線は $y = \frac{1}{2}x + 2$

(9) 直線 $l$ は $y = x + 3$ のグラフである。直線 $l$ 上に点 A をとり、A から $x$ 軸に垂線 AB をひく。AB を一辺とする正方形 ABCD を図のようにつくり、点 A の $x$ 座標を $a$ ($a > 0$) としたとき、B, D の座標を求める。

点 A の座標は $(a, a+3)$

点 B の $y$ 座標は 0 なので、B の座標は $(a, 0)$

正方形の一辺の長さは $a + 3$

点 D の $x$ 座標は $a + (a + 3) = 2a + 3$

点 D の $y$ 座標は $a + 3$

B の座標は $(a, 0)$

D の座標は $(2a+3, a+3)$

(10) 図で、O は原点、四角形 ABCD は正方形で、B, C は x 軸上の点である。点 A の座標が (2, 3) のとき、原点 O を通る直線 $l$ で台形 OADC の面積が二等分されるとき、直線 $l$ の式を求める。

正方形の一辺の長さは 3

点Dの座標は $(2+3, 3) = (5, 3)$

点Cの座標は $(5, 0)$

台形 OADC の面積は $\frac{1}{2} \times (5+2) \times 3 = \frac{21}{2}$

直線 $l$ は原点を通るので $y = kx$

点 E で直線 $l$ と CD が交わるとすると、E は CD 上の点なので、$y = 3$

$3 = kx$ より $x = \frac{3}{k}$

三角形 OCE の面積は $\frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{21}{4}$

三角形 OCE の面積は $\frac{1}{2} \times 5 \times 3$ =台形OADCの面積の半分.

三角形OCEの面積 = $\frac{1}{2} \times OC \times y$の値

台形OADCの面積の半分は $\frac{1}{2} \times \frac{21}{2} = \frac{21}{4}$.

直線 $y=kx$ が台形を二等分するときの面積=$\frac{1}{2} × x × 3$.

$\frac{21}{4}=\frac{15}{2k}$. $42k=60$. $k=\frac{10}{7}$.

3. 最終的な答え

(2) $-1 \le b \le 5$

(3) $a = -3$, $b = 2$

(4) $x = -3$

(5) -1

(6) x=2, y=2

(7) $(\frac{4}{5}, -\frac{7}{5})$

(8) $y = \frac{1}{2}x + 2$

(9) Bの座標: $(a, 0)$, Dの座標: $(2a+3, a+3)$

(10) $y=\frac{10}{7}x$