以下の5つの絶対値を含む方程式を満たす実数 $x$ を求める問題です。 (1) $|x+3| = 7$ (2) $|x| = |3x+1|$ (3) $|x-4| = 3$ (4) $|5x-7| = 2$ (5) $|2x+1| = |3x-1|$

1. 問題の内容

以下の5つの絶対値を含む方程式を満たす実数 $x$ を求める問題です。

(1) $|x+3| = 7$

(2) $|x| = |3x+1|$

(3) $|x-4| = 3$

(4) $|5x-7| = 2$

(5) $|2x+1| = |3x-1|$

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行うか、または $|a|^2 = a^2$ の公式を利用します。

(1) $|x+3| = 7$

絶対値の中身が正または負の場合を考えます。

$x+3 = 7$ または $x+3 = -7$

$x = 7-3$ または $x = -7-3$

$x = 4$ または $x = -10$

(2) $|x| = |3x+1|$

両辺を2乗すると、$x^2 = (3x+1)^2$

$x^2 = 9x^2 + 6x + 1$

$8x^2 + 6x + 1 = 0$

$(4x+1)(2x+1) = 0$

$x = -\frac{1}{4}$ または $x = -\frac{1}{2}$

(3) $|x-4| = 3$

$x-4 = 3$ または $x-4 = -3$

$x = 3+4$ または $x = -3+4$

$x = 7$ または $x = 1$

(4) $|5x-7| = 2$

$5x-7 = 2$ または $5x-7 = -2$

$5x = 9$ または $5x = 5$

$x = \frac{9}{5}$ または $x = 1$

(5) $|2x+1| = |3x-1|$

両辺を2乗すると、$(2x+1)^2 = (3x-1)^2$

$4x^2 + 4x + 1 = 9x^2 - 6x + 1$

$5x^2 - 10x = 0$

$5x(x-2) = 0$

$x = 0$ または $x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4, -10$

(2) $x = -\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}$

(3) $x = 7, 1$

(4) $x = \frac{9}{5}, 1$

(5) $x = 0, 2$