与えられた分数式 $\frac{x+2}{x^2+4x+3}$ を部分分数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{x+2}{x^2+4x+3}$ を部分分数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$

したがって、与えられた分数式は以下のように表せます。

$\frac{x+2}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$

両辺に $(x+1)(x+3)$ を掛けると、

$x+2 = A(x+3) + B(x+1)$

この式がすべての $x$ に対して成り立つように、$A$ と $B$ の値を決定します。

$x=-1$ を代入すると、

$-1+2 = A(-1+3) + B(-1+1)$

$1 = 2A$

$A = \frac{1}{2}$

$x=-3$ を代入すると、

$-3+2 = A(-3+3) + B(-3+1)$

$-1 = -2B$

$B = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{x+2}{x^2+4x+3} = \frac{1/2}{x+1} + \frac{1/2}{x+3} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{2(x+3)}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{2(x+3)}$