与えられた分数式 $\frac{3}{x^2+x-6}$ を部分分数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{3}{x^2+x-6}$ を部分分数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\frac{3}{x^2+x-6} = \frac{3}{(x+3)(x-2)}$

次に、部分分数分解を行います。すなわち、定数 $A$ と $B$ を用いて、

$\frac{3}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$

と表します。両辺に $(x+3)(x-2)$ をかけると、

$3 = A(x-2) + B(x+3)$

となります。

$x=2$ を代入すると、

$3 = A(2-2) + B(2+3)$

$3 = 5B$

$B = \frac{3}{5}$

$x=-3$ を代入すると、

$3 = A(-3-2) + B(-3+3)$

$3 = -5A$

$A = -\frac{3}{5}$

したがって、

$\frac{3}{x^2+x-6} = \frac{-\frac{3}{5}}{x+3} + \frac{\frac{3}{5}}{x-2} = -\frac{3}{5(x+3)} + \frac{3}{5(x-2)}$

$\frac{3}{x^2+x-6} = \frac{3}{5}\left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+3} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5(x-2)} - \frac{3}{5(x+3)}$

または

$\frac{3}{5}\left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+3} \right)$