実数 $x, y$ が $x^2 + 3y^2 = 9$ を満たすとき、$x+y^2-1$ の最大値と最小値を求め、それぞれ最大値と最小値をとるときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + 3y^2 = 9$ を満たすとき、$x+y^2-1$ の最大値と最小値を求め、それぞれ最大値と最小値をとるときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $x^2 + 3y^2 = 9$ より、$y^2 = \frac{9 - x^2}{3}$ である。

求める式の値を $k$ とおくと、$x+y^2-1 = k$ となる。

したがって、$x + \frac{9 - x^2}{3} - 1 = k$ である。

これを整理すると、

$3x + 9 - x^2 - 3 = 3k$

$-x^2 + 3x + 6 = 3k$

$x^2 - 3x + 3k - 6 = 0$

$x$ は実数であるから、この $x$ についての2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (-3)^2 - 4(3k - 6) = 9 - 12k + 24 = 33 - 12k \ge 0$

$12k \le 33$

$k \le \frac{33}{12} = \frac{11}{4}$

したがって、最大値は $\frac{11}{4}$ である。

このとき、$x^2 - 3x + 3 \cdot \frac{11}{4} - 6 = 0$

$x^2 - 3x + \frac{33}{4} - \frac{24}{4} = 0$

$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = \frac{3}{2}$

このとき、$y^2 = \frac{9 - (\frac{3}{2})^2}{3} = \frac{9 - \frac{9}{4}}{3} = \frac{\frac{36-9}{4}}{3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

$y = \pm \frac{3}{2}$

また、$x^2 = 9 - 3y^2$ であり、$x$ は実数なので、$9 - 3y^2 \ge 0$ から $3y^2 \le 9$ つまり、$y^2 \le 3$ である。

$y^2 = 3$ のとき、$x=0$ となり、$x+y^2-1 = 0 + 3 - 1 = 2$

$y^2 = 0$ のとき、$x = \pm 3$ となり、$x+y^2-1 = x - 1$ なので、$x = -3$ のとき最小値 $-4$ をとる。

$x^2 - 3x + 3k - 6 = 0$ で、$x = -3$ のとき、

$9 + 9 + 3k - 6 = 0$

$3k = -12$

$k = -4$

このとき、$y=0$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{11}{4}$ ($x = \frac{3}{2}, y = \pm \frac{3}{2}$ のとき)

最小値: $-4$ ($x = -3, y = 0$ のとき)