$x, y$ が次の3つの不等式を満たすとする。 $y \geq -\frac{5}{3}x + 5$ $y \geq 3x - 9$ $y \leq \frac{1}{5}x + 5$ このとき、$x+y$ の最小値と最大値、および $x^2 + y^2$ の最小値、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x, y$ が次の3つの不等式を満たすとする。

$y \geq -\frac{5}{3}x + 5$

$y \geq 3x - 9$

$y \leq \frac{1}{5}x + 5$

このとき、$x+y$ の最小値と最大値、および $x^2 + y^2$ の最小値、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、3つの不等式が表す領域を図示する。

$y = -\frac{5}{3}x + 5$ と $y = 3x - 9$ の交点を求める。

$-\frac{5}{3}x + 5 = 3x - 9$

$5 + 9 = 3x + \frac{5}{3}x$

$14 = \frac{14}{3}x$

$x = 3$

$y = 3 \times 3 - 9 = 0$

よって、交点は $(3, 0)$

$y = -\frac{5}{3}x + 5$ と $y = \frac{1}{5}x + 5$ の交点を求める。

$-\frac{5}{3}x + 5 = \frac{1}{5}x + 5$

$-\frac{5}{3}x = \frac{1}{5}x$

$x = 0$

$y = 5$

よって、交点は $(0, 5)$

$y = 3x - 9$ と $y = \frac{1}{5}x + 5$ の交点を求める。

$3x - 9 = \frac{1}{5}x + 5$

$3x - \frac{1}{5}x = 5 + 9$

$\frac{14}{5}x = 14$

$x = 5$

$y = 3 \times 5 - 9 = 6$

よって、交点は $(5, 6)$

領域は3点 $(3, 0), (0, 5), (5, 6)$ を頂点とする三角形の内部（境界含む）となる。

$k = x + y$ とおく。

$y = -x + k$

この直線が領域と共有点を持つように $k$ を変化させる。

$(3, 0)$ を通るとき、$k = 3 + 0 = 3$ (最小値)

$(5, 6)$ を通るとき、$k = 5 + 6 = 11$ (最大値)

$l = x^2 + y^2$ とおく。

これは原点を中心とする半径 $\sqrt{l}$ の円である。

$l$ が最小となるのは、円が領域と初めて交わる時である。

このとき、円は直線 $y = -\frac{5}{3}x + 5$ に接する。

円の中心 $(0, 0)$ から直線 $5x + 3y - 15 = 0$ までの距離が半径 $\sqrt{l}$ に等しい。

$\sqrt{l} = \frac{|5 \times 0 + 3 \times 0 - 15|}{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \frac{15}{\sqrt{34}}$

$l = \frac{225}{34}$

接点の座標は、直線 $y = \frac{3}{5}x$ と $5x + 3y - 15 = 0$ の交点である。

$5x + 3 \times \frac{3}{5}x - 15 = 0$

$25x + 9x = 75$

$34x = 75$

$x = \frac{75}{34}$

$y = \frac{3}{5} \times \frac{75}{34} = \frac{45}{34}$

3. 最終的な答え

$x + y$ の最小値: 3

$x + y$ の最大値: 11

$x^2 + y^2$ の最小値: $\frac{225}{34}$

そのときの $x$ の値: $\frac{75}{34}$

そのときの $y$ の値: $\frac{45}{34}$