$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、次の値を求めます。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、次の値を求めます。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

分母の有理化を行う。

$\frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)の結果より、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2\frac{1}{x} + 3x\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

したがって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

(1)の結果より、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ なので、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{6})^3 - 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{6}$

(2) 4

(3) $3\sqrt{6}$