問題は2つあります。 (1) 数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求めます。数列は2, 7, 16, 29, 46, ... です。一般項は $a_n = \boxed{1}n^2 - n + \boxed{2}$ の形で表されます。空欄を埋める必要があります。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 4n$ で与えられています。このとき、$a_n = \boxed{3}n + \boxed{4}$ の形で表される $a_n$ の一般項を求めます。空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求めます。数列は2, 7, 16, 29, 46, ... です。一般項は $a_n = \boxed{1}n^2 - n + \boxed{2}$ の形で表されます。空欄を埋める必要があります。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 4n$ で与えられています。このとき、$a_n = \boxed{3}n + \boxed{4}$ の形で表される $a_n$ の一般項を求めます。空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\} : 2, 7, 16, 29, 46, \dots$ の階差数列を求めます。

階差は 5, 9, 13, 17, ... となります。

この階差数列は初項5, 公差4の等差数列です。

この階差数列の一般項 $b_n$ は、$b_n = 5 + (n-1)4 = 4n + 1$ です。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 1) = 2 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 2 + 4\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 2 + 2n(n-1) + n - 1 = 2 + 2n^2 - 2n + n - 1 = 2n^2 - n + 1$

$a_n = 2n^2 - n + 1$

$a_n = \boxed{2}n^2 - n + \boxed{1}$

(2) $S_n = 2n^2 + 4n$ が与えられています。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いて $a_n$ を求めます。

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 4(1) = 2 + 4 = 6$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 4n) - [2(n-1)^2 + 4(n-1)] = (2n^2 + 4n) - [2(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4]$

$= 2n^2 + 4n - (2n^2 - 4n + 2 + 4n - 4) = 2n^2 + 4n - 2n^2 + 4n - 2 - 4n + 4 = 4n + 2$

$a_n = 4n + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 4(1) + 2 = 6$ となり、これは正しいです。

$a_n = \boxed{4}n + \boxed{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n^2 - n + 1$

(2) $a_n = 4n + 2$