長さ12cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和が最小となるのは、針金をどのように切ったときか、また、そのときの面積の和を求めよ。

1. 問題の内容

長さ12cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和が最小となるのは、針金をどのように切ったときか、また、そのときの面積の和を求めよ。

2. 解き方の手順

針金を$x$ cmと$12-x$ cmに切るとする。

それぞれの針金で正方形を作ると、1辺の長さはそれぞれ $\frac{x}{4}$ cmと$\frac{12-x}{4}$ cmとなる。

2つの正方形の面積の和$S$は、

$S = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{12-x}{4})^2 = \frac{x^2}{16} + \frac{144 - 24x + x^2}{16} = \frac{2x^2 - 24x + 144}{16} = \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{2}x + 9$

$S$を最小にする$x$を求めるために、平方完成する。

$S = \frac{1}{8}(x^2 - 12x) + 9 = \frac{1}{8}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 9 = \frac{1}{8}(x-6)^2 - \frac{36}{8} + 9 = \frac{1}{8}(x-6)^2 - \frac{9}{2} + 9 = \frac{1}{8}(x-6)^2 + \frac{9}{2}$

$S$が最小となるのは、$x = 6$のときである。

このとき、$S = \frac{9}{2} = 4.5$である。

したがって、針金を6cmと6cmに切るときに、面積の和は最小となる。

3. 最終的な答え

針金を6cmと6cmに切るとき、面積の和は最小となり、その時の面積の和は4.5 cm$^2$である。