関数 $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = x^2 + 2x$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表します。 (2) $-2 \le x \le 1$ のとき、$y$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = x^2 + 2x$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表します。

(2) $-2 \le x \le 1$ のとき、$y$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ を $t = x^2 + 2x$ を用いて表します。

まず、$y$ を次のように変形します。

$y = (x^2 + 2x)^2 + x^2 + 2x + 3$

$t = x^2 + 2x$ を代入すると、

$y = t^2 + t + 3$

(2) $-2 \le x \le 1$ のときの $y$ の最大値と最小値を求めます。

まず、$t = x^2 + 2x$ の範囲を求めます。

$t = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ であり、$x$ の範囲が $-2 \le x \le 1$ なので、$t$ の範囲は、

$x = -1$ のとき $t = -1$ (最小値)

$x = 1$ のとき $t = 3$ (最大値)

したがって、$-1 \le t \le 3$ となります。

次に、$y = t^2 + t + 3 = (t+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$ の $-1 \le t \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $y = \frac{11}{4}$ をとりますが、これは $t$ の範囲に含まれます。

$t = -1$ のとき、$y = (-1)^2 + (-1) + 3 = 1 - 1 + 3 = 3$

$t = 3$ のとき、$y = (3)^2 + 3 + 3 = 9 + 3 + 3 = 15$

したがって、$t = 3$ のとき、最大値 $y = 15$ をとります。

$t = -1$ のとき、 $x^2 + 2x = -1$ より $x^2 + 2x + 1 = 0$ であり、$(x+1)^2 = 0$ なので $x = -1$ です。

$t = 3$ のとき、$x^2 + 2x = 3$ より $x^2 + 2x - 3 = 0$ であり、$(x+3)(x-1) = 0$ なので $x = -3$ または $x = 1$ です。$x$ の範囲から $x = 1$ が適切です。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$x^2+2x = -\frac{1}{2}$ より $2x^2 + 4x + 1 = 0$。解の公式より、$x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{4} = \frac{-4\pm2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\pm\sqrt{2}}{2}$。

$x = \frac{-2+\sqrt{2}}{2} \approx -0.29 \qquad x=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}\approx -1.71$

$x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$ は $-2 \le x \le 1$の範囲にあるので適切。

したがって、$x = 1$ のとき最大値 $y = 15$ をとり、$x = \frac{-2+\sqrt{2}}{2}$ のとき最小値 $y = \frac{11}{4}$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t + 3$

(2) 最大値: $15$ ($x = 1$ のとき)、最小値: $\frac{11}{4}$ ($x = \frac{-2+\sqrt{2}}{2}$ のとき)