与えられた多項式 $x^4 + x^3 - x - 1$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^4 + x^3 - x - 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、多項式をペアごとにグループ化して共通因数をくくり出します。

$x^4 + x^3 - x - 1 = (x^4 + x^3) + (-x - 1)$

最初の2つの項から $x^3$ を、最後の2つの項から $-1$ をくくり出します。

$x^3(x + 1) - 1(x + 1)$

これで、$(x+1)$ が共通因数となりましたので、くくり出します。

$(x+1)(x^3 - 1)$

次に、$x^3 - 1$ を因数分解します。これは差の立方公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用できます。ここでは、$a = x$、$b = 1$ です。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

したがって、$x^4 + x^3 - x - 1$ の因数分解は次のようになります。

$(x+1)(x-1)(x^2 + x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x+1)(x-1)(x^2 + x + 1)$