$\frac{x+2}{x^2 + 4x + 3}$ を部分分数分解してください。

1. 問題の内容

$\frac{x+2}{x^2 + 4x + 3}$ を部分分数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

したがって、

$\frac{x+2}{x^2 + 4x + 3} = \frac{x+2}{(x+1)(x+3)}$

この分数を部分分数に分解すると、次のようになります。

$\frac{x+2}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$

両辺に $(x+1)(x+3)$ を掛けると、次のようになります。

$x+2 = A(x+3) + B(x+1)$

$x = -1$ を代入すると、

$-1 + 2 = A(-1+3) + B(-1+1)$

$1 = 2A$

$A = \frac{1}{2}$

$x = -3$ を代入すると、

$-3 + 2 = A(-3+3) + B(-3+1)$

$-1 = -2B$

$B = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{x+2}{(x+1)(x+3)} = \frac{1/2}{x+1} + \frac{1/2}{x+3}$

$\frac{x+2}{x^2 + 4x + 3} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{2(x+3)}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{2(x+3)}$