与えられた繁分数を簡単な分数式に直す問題です。繁分数は、分子または分母（あるいは両方）がさらに分数を含む分数のことです。問題の式は以下の通りです。 $$ \frac{1}{\frac{1}{y} - \frac{1}{y - \frac{1}{y}}} $$

1. 問題の内容

与えられた繁分数を簡単な分数式に直す問題です。繁分数は、分子または分母（あるいは両方）がさらに分数を含む分数のことです。問題の式は以下の通りです。

$$\frac{1}{\frac{1}{y} - \frac{1}{y - \frac{1}{y}}}$$

2. 解き方の手順

まず、最も内側の分数式である $y - \frac{1}{y}$ を計算します。

$$y - \frac{1}{y} = \frac{y^2 - 1}{y}$$

次に、 $\frac{1}{y - \frac{1}{y}}$ を計算します。これは上の式の逆数になります。

$$\frac{1}{y - \frac{1}{y}} = \frac{1}{\frac{y^2 - 1}{y}} = \frac{y}{y^2 - 1}$$

次に、$\frac{1}{y} - \frac{1}{y - \frac{1}{y}}$ を計算します。これは、$\frac{1}{y} - \frac{y}{y^2 - 1}$ と同じです。

$$\frac{1}{y} - \frac{y}{y^2 - 1} = \frac{y^2 - 1}{y(y^2 - 1)} - \frac{y^2}{y(y^2 - 1)} = \frac{y^2 - 1 - y^2}{y(y^2 - 1)} = \frac{-1}{y(y^2 - 1)}$$

最後に、$\frac{1}{\frac{1}{y} - \frac{1}{y - \frac{1}{y}}}$ を計算します。これは上の式の逆数です。

$$\frac{1}{\frac{-1}{y(y^2 - 1)}} = -y(y^2 - 1) = -y(y - 1)(y + 1) = -y^3 + y$$

3. 最終的な答え

$-y^3 + y$