$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$, $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$ とする。 (1) $A$ の分母を有理化し、簡単にする。 (2) $B$ の整数部分と小数部分をそれぞれ求める。 (3) $B$ の小数部分を $p$, $AB$ の小数部分を $q$ とするとき、$2pq + 4p + q + 2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$, $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$ とする。

(1) $A$ の分母を有理化し、簡単にする。

(2) $B$ の整数部分と小数部分をそれぞれ求める。

(3) $B$ の小数部分を $p$, $AB$ の小数部分を $q$ とするとき、$2pq + 4p + q + 2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ の分母を有理化する。

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

(2) $B$ の整数部分と小数部分を求める。

$B = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

ここで、 $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、 $5 < 3+\sqrt{5} < 6$ となる。

よって、 $\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{5}}{2} < \frac{6}{2}$, つまり $2.5 < B < 3$ であるから、$B$ の整数部分は 2 となる。

$B$ の小数部分 $p$ は $B - 2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{5}-4}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $AB$ の小数部分 $q$ を求める。

$A = \sqrt{5}+1$ であり、$B = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ であるから、

$AB = (\sqrt{5}+1) \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}+5+3+\sqrt{5}}{2} = \frac{4\sqrt{5}+8}{2} = 2\sqrt{5}+4$

ここで $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから $4 < 2\sqrt{5} < 6$ となり、$8 < 2\sqrt{5}+4 < 10$

よって $AB$ の整数部分は 8 である。

$AB$ の小数部分 $q$ は $AB - 8 = 2\sqrt{5}+4 - 8 = 2\sqrt{5}-4$

$2pq + 4p + q + 2$ の値を求める。

$p = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ であり、$q = 2\sqrt{5}-4$ であるから

$2pq + 4p + q + 2 = 2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})(2\sqrt{5}-4) + 4(\frac{\sqrt{5}-1}{2}) + (2\sqrt{5}-4) + 2$

$= (\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}-4) + 2(\sqrt{5}-1) + 2\sqrt{5}-4 + 2$

$= 10 - 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4 + 2\sqrt{5}-2 + 2\sqrt{5}-4 + 2$

$= 10 - 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4 + 2\sqrt{5} - 2 + 2\sqrt{5} - 4 + 2 = 10$

3. 最終的な答え

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