ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に移す線形変換を $f$ とするとき、$f$ によるベクトル $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に移す線形変換を $f$ とするとき、$f$ によるベクトル $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\mathbf{c}$ を $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の線形結合で表します。つまり、実数 $s$, $t$ を用いて、

$\mathbf{c} = s\mathbf{a} + t\mathbf{b}$

となる $s$ と $t$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

この式を成分ごとに書くと、以下の連立方程式が得られます。

$s + t = 3$

$s - t = 1$

これらの式を足し合わせると、$2s = 4$ となり、$s = 2$ が得られます。

$s = 2$ を最初の式に代入すると、$2 + t = 3$ となり、$t = 1$ が得られます。

したがって、$\mathbf{c} = 2\mathbf{a} + \mathbf{b}$ となります。

線形変換 $f$ は線形性を持つので、$f(\mathbf{c}) = f(2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = 2f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b})$ が成り立ちます。

問題文より、$f(\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $f(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、

$f(\mathbf{c}) = 2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$