$1 + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた3つの繁分数をそれぞれ簡単にします。

(1) $\frac{x}{1+\frac{1}{x-1}}$

(2) $\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

(3) $\frac{\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}}{\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b}}$

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2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

1. 分母の $1 + \frac{1}{x-1}$ を計算します。

$1 + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$

2. 繁分数を計算します。

$\frac{x}{\frac{x}{x-1}} = x \cdot \frac{x-1}{x} = x-1$

**(2) の解き方**

1. 分子 $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$ を計算します。

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$

2. 分母 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ を計算します。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}$

3. 繁分数を計算します。

$\frac{\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}}{\frac{y + x}{xy}} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{y + x} = \frac{(y - x)(y + x)xy}{x^2y^2(y + x)} = \frac{y - x}{xy}$

**(3) の解き方**

1. 分子 $\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}$ を計算します。

$\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$

2. 分母 $\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b}$ を計算します。

$\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{a^2 - b^2} = \frac{4ab}{a^2 - b^2}$

3. 繁分数を計算します。

$\frac{\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}}{\frac{4ab}{a^2 - b^2}} = \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{2(a^2 + b^2)}{4ab} = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$

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3. 最終的な答え

(1) $x - 1$

(2) $\frac{y - x}{xy}$

(3) $\frac{a^2 + b^2}{2ab}$