次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 10, \ a_{n+1} = a_n + 5$ (2) $a_1 = 4, \ a_{n+1} = -3a_n$ (3) $a_1 = 2, \ a_{n+1} = a_n + n + 3$

1. 問題の内容

次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 10, \ a_{n+1} = a_n + 5$

(2) $a_1 = 4, \ a_{n+1} = -3a_n$

(3) $a_1 = 2, \ a_{n+1} = a_n + n + 3$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n + 5$ は、等差数列の漸化式です。初項が$a_1 = 10$、公差が$5$の等差数列であるので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d$

に代入して、

$a_n = 10 + (n-1)5 = 10 + 5n - 5 = 5n + 5$

となります。

(2)

$a_{n+1} = -3a_n$ は、等比数列の漸化式です。初項が$a_1 = 4$、公比が$-3$の等比数列であるので、一般項は

$a_n = a_1r^{n-1}$

に代入して、

$a_n = 4(-3)^{n-1}$

となります。

(3)

$a_{n+1} = a_n + n + 3$ は、階差数列の漸化式です。

$a_{n+1} - a_n = n + 3$ であるので、階差数列を$b_n$とすると、$b_n = n + 3$となります。

$n \geq 2$のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k + 3)$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$

$a_n = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3$

$a_n = \frac{n^2 - n + 6n - 6 + 4}{2}$

$a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{1^2 + 5(1) - 2}{2} = \frac{1 + 5 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

なので、この式は$n=1$でも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n + 5$

(2) $a_n = 4(-3)^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$