$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$、$B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$とする。 (1) A の分母を有理化し、簡単にしなさい。 (2) B の整数部分と小数部分をそれぞれ求めなさい。 (3) B の小数部分を $p$、$AB$ の小数部分を $q$ とする。このとき、$2pq+4p+q+2$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$、$B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$とする。

(1) A の分母を有理化し、簡単にしなさい。

(2) B の整数部分と小数部分をそれぞれ求めなさい。

(3) B の小数部分を $p$、$AB$ の小数部分を $q$ とする。このとき、$2pq+4p+q+2$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) A の分母を有理化する。

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

(2) B の整数部分と小数部分を求める。

$B = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$2 < \sqrt{5} < 3$ より、 $5 < 3+\sqrt{5} < 6$ となる。

よって、$\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{5}}{2} < \frac{6}{2}$、つまり $2.5 < B < 3$ である。

したがって、B の整数部分は 2。

B の小数部分 $p$ は、 $p = B - 2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{5}-4}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $AB$ の小数部分を求める。

$AB = (\sqrt{5}+1)(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) = \frac{3\sqrt{5}+5+3+\sqrt{5}}{2} = \frac{4\sqrt{5}+8}{2} = 2\sqrt{5}+4$

$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$4 < 2\sqrt{5} < 6$、よって $8 < 2\sqrt{5}+4 < 10$。

$2\sqrt{5}+4$ の整数部分は 8。

$AB$ の小数部分 $q$ は、$q = 2\sqrt{5}+4 - 8 = 2\sqrt{5}-4$

$2pq+4p+q+2$ の値を計算する。

$2pq+4p+q+2 = 2p(q+2) + (q+2) = (2p+1)(q+2)$

$2p+1 = 2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})+1 = \sqrt{5}-1+1 = \sqrt{5}$

$q+2 = 2\sqrt{5}-4+2 = 2\sqrt{5}-2$

$(2p+1)(q+2) = \sqrt{5}(2\sqrt{5}-2) = 10-2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+1$

(2) 整数部分: 2、小数部分: $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $10-2\sqrt{5}$