問題10は、与えられた式を因数分解する問題です。問題11は、工夫して計算する問題と、与えられた条件のもとで式の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題10は、与えられた式を因数分解する問題です。問題11は、工夫して計算する問題と、与えられた条件のもとで式の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題10：

(1) $10ax^2 + 5ax$

共通因数 $5ax$ でくくり出す。

$10ax^2 + 5ax = 5ax(2x + 1)$

(2) $x^2 - 20x + 100$

これは $(x-10)^2$ の展開式なので、

$x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2$

(3) $x^2 - 16y^2$

これは $x^2 - (4y)^2$ と見なせるので、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を用いる。

$x^2 - 16y^2 = (x + 4y)(x - 4y)$

(4) $x^2 + 9x + 20$

足して9、掛けて20になる2つの数を見つける。それは4と5。

$x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)$

(5) $12x^2 + 12x + 3$

まず共通因数3でくくり出す。

$12x^2 + 12x + 3 = 3(4x^2 + 4x + 1)$

次に、括弧の中を因数分解する。$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$

したがって、

$12x^2 + 12x + 3 = 3(2x + 1)^2$

(6) $2ab + 2b - a - 1$

$2b$で最初の2項をくくり出す。

$2ab+2b - a-1 = 2b(a+1) - (a+1) = (2b - 1)(a+1)$

問題11：

(1) $497^2 - 503^2$

これは二乗の差なので、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を利用する。

$497^2 - 503^2 = (497 + 503)(497 - 503)$

$= (1000)(-6)$

$= -6000$

(2) $x = 2, y = -11$ のとき、 $(x - 4y)^2 - (x - 2y)(x - 8y)$ の値を求める。

まず、式を展開する。

$(x - 4y)^2 - (x - 2y)(x - 8y) = x^2 - 8xy + 16y^2 - (x^2 - 10xy + 16y^2)$

$= x^2 - 8xy + 16y^2 - x^2 + 10xy - 16y^2$

$= 2xy$

次に、$x = 2, y = -11$ を代入する。

$2xy = 2 \cdot 2 \cdot (-11) = -44$

3. 最終的な答え

問題10：

(1) $5ax(2x+1)$

(2) $(x-10)^2$

(3) $(x+4y)(x-4y)$

(4) $(x+4)(x+5)$

(5) $3(2x+1)^2$

(6) $(2b-1)(a+1)$

問題11：

(1) $-6000$

(2) $-44$