全体集合$U$を実数全体の集合とする。$U$の部分集合$A, B, C, D$が以下のように定められている。 $A = \{x | x^2 \geq 4\}$, $B = \{x | 1 \leq x \leq 2\}$, $C = \{1, 2\}$, $D = \{-4, -2, 1, 2\}$ 以下の2つの命題について、必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないかを答える。 (ア) $x \in B \cap \overline{D}$は、$x \in \overline{A}$であるための何条件か。 (イ) $x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$は、$x \in C$であるための何条件か。

1. 問題の内容

全体集合$U$を実数全体の集合とする。$U$の部分集合$A, B, C, D$が以下のように定められている。

$A = \{x | x^2 \geq 4\}$, $B = \{x | 1 \leq x \leq 2\}$, $C = \{1, 2\}$, $D = \{-4, -2, 1, 2\}$

以下の2つの命題について、必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないかを答える。

(ア) $x \in B \cap \overline{D}$は、$x \in \overline{A}$であるための何条件か。

(イ) $x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$は、$x \in C$であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、$A$, $B$, $D$の補集合を求める。

$A = \{x | x^2 \geq 4\}$なので、$A = \{x | x \leq -2 \text{ or } x \geq 2\}$。よって、$\overline{A} = \{x | -2 < x < 2\}$。

$D = \{-4, -2, 1, 2\}$なので、$\overline{D} = \{x | x \neq -4, x \neq -2, x \neq 1, x \neq 2\}$。

$B \cap \overline{D} = \{x | 1 \leq x \leq 2\} \cap \{x | x \neq -4, x \neq -2, x \neq 1, x \neq 2\} = \{x | 1 < x < 2\}$。

$x \in B \cap \overline{D}$ならば、$x \in \overline{A}$かを確認する。

$x \in B \cap \overline{D}$ならば、$1 < x < 2$である。このとき、$-2 < x < 2$なので、$x \in \overline{A}$である。したがって、十分条件である。

$x \in \overline{A}$ならば、$x \in B \cap \overline{D}$かを確認する。

$x \in \overline{A}$ならば、$-2 < x < 2$である。しかし、このとき$1 < x < 2$とは限らない。例えば、$x = 0$のとき、$x \in \overline{A}$だが、$x \notin B \cap \overline{D}$である。したがって、必要条件ではない。

以上より、$x \in B \cap \overline{D}$は、$x \in \overline{A}$であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(イ)

まず、$A \cup B$を求める。

$A = \{x | x \leq -2 \text{ or } x \geq 2\}$, $B = \{x | 1 \leq x \leq 2\}$なので、$A \cup B = \{x | x \leq -2 \text{ or } x \geq 1\}$。よって、$\overline{A \cup B} = \{x | -2 < x < 1\}$。

$(\overline{A \cup B}) \cap D = \{x | -2 < x < 1\} \cap \{-4, -2, 1, 2\} = \emptyset$。

$x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$ならば、$x \in C$かを確認する。

$(\overline{A \cup B}) \cap D = \emptyset$なので、$x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$となる$x$は存在しない。したがって、命題は真であるため、十分条件である。

$x \in C$ならば、$x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$かを確認する。

$C = \{1, 2\}$である。$x = 1$のとき、$x \in C$だが、$x \notin (\overline{A \cup B}) \cap D = \emptyset$である。したがって、必要条件ではない。

以上より、$x \in (\overline{A \cup B}) \cap D$は、$x \in C$であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1