問題12: 箱の中から2枚のカードを取り出し、その和が正の数となる確率を求める。 問題13: 箱ひげ図から読み取れる事柄の正誤を判断する。 問題14: $(ax-3)(4x+b)$を展開した結果が$cx^2 + 2x - 21$であるとき、$a, b, c$を求める。 問題15: 長方形の花壇の周りの道の面積$S$と、道の真ん中を通る線の長さ$l$の関係式$S = al$を証明する。 問題16: 連続する2つの整数の平方の差に関する予想を証明し、平方の和に関する反例を挙げる。

1. 問題の内容

問題12: 箱の中から2枚のカードを取り出し、その和が正の数となる確率を求める。

問題13: 箱ひげ図から読み取れる事柄の正誤を判断する。

問題14: $(ax-3)(4x+b)$を展開した結果が$cx^2 + 2x - 21$であるとき、$a, b, c$を求める。

問題15: 長方形の花壇の周りの道の面積$S$と、道の真ん中を通る線の長さ$l$の関係式$S = al$を証明する。

問題16: 連続する2つの整数の平方の差に関する予想を証明し、平方の和に関する反例を挙げる。

2. 解き方の手順

問題12:

まず、全ての組み合わせを考える。6枚のカードから2枚を取り出す組み合わせは、$6C2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

次に、和が正の数となる組み合わせを列挙する。

(-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-3, 3)

(-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3)

(0, 1), (0, 2), (0, 3)

(1, 2), (1, 3)

(2, 3)

和が正になるのは、

(-3, 1), (-3, 2), (-3, 3)

(-2, 1), (-2, 2), (-2, 3)

(0, 1), (0, 2), (0, 3)

(1, 2), (1, 3)

(2, 3)

の12通り。

よって、確率は$\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$。

問題13:

① もっとも長い距離を投げた生徒がいるのは2組である。→ 正しい

箱ひげ図の右端を見る。2組の方が1組よりも右にあるので正しい。

② 1組の四分位範囲は2組の四分位範囲より大きい。→ 正しくない

四分位範囲は箱の長さでわかる。1組の箱の長さは2組の箱の長さより小さいので正しくない。

③ 1組の記録の平均値は17mである。→ このデータからはわからない

箱ひげ図からは平均値は読み取れない。

問題14:

$(ax-3)(4x+b) = 4ax^2 + (ab-12)x - 3b = cx^2 + 2x - 21$

係数を比較すると、$4a = c$, $ab-12 = 2$, $-3b = -21$

$-3b = -21$より、$b = 7$。

$ab-12 = 2$より、$7a - 12 = 2$, $7a = 14$, $a = 2$。

$4a = c$より、$c = 4 \times 2 = 8$。

問題15:

道の面積$S$は、外側の長方形の面積から花壇の長方形の面積を引いたもの。

外側の長方形の縦は$p+2a$、横は$q+2a$。花壇の長方形の縦は$p$、横は$q$。

$S = (p+2a)(q+2a) - pq = pq + 2ap + 2aq + 4a^2 - pq = 2ap + 2aq + 4a^2$。

道の真ん中を通る線の長さ$l$は、縦が$p+a$, 横が$q+a$の長方形の周の長さ。

$l = 2(p+a) + 2(q+a) = 2p + 2a + 2q + 2a = 2p + 2q + 4a$。

$al = a(2p + 2q + 4a) = 2ap + 2aq + 4a^2$。

よって、$S = al$。

問題16:

① $(n+1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1$。

したがって、大きい数の平方から小さい数の平方をひいたときの差は、$2n + 1$。

② 連続する2つの整数が、たとえば、4, 5 のとき、$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$。

41は 整数の平方ではない。したがって、連続する2つの整数で、小さい数の平方と大きい数の平方の和は、ある整数の平方になるとは限らない。ア=4, イ=5, ウ=41

3. 最終的な答え

問題12: $\frac{4}{5}$

問題13: ①正しい ②正しくない ③このデータからはわからない

問題14: $a = 2$, $b = 7$, $c = 8$

問題15: 証明は上記参照

問題16: ① $2n+1$ ② ア=4, イ=5, ウ=41