複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の変換によってどのように移動するかを答える問題です。 (1) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$ (2) $(1-i)z$ (3) $-iz$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の変換によってどのように移動するかを答える問題です。

(1) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$

(2) $(1-i)z$

(3) $-iz$

2. 解き方の手順

複素数の積は、複素数平面上の回転と拡大・縮小に対応します。

複素数 $z_1$ と $z_2$ の積 $z_1 z_2$ は、$z_1$ の絶対値 $|z_1|$ と偏角 $\arg(z_1)$、および $z_2$ の絶対値 $|z_2|$ と偏角 $\arg(z_2)$ を用いて、以下のように表されます。

$|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$

$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$

(1) $w_1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$ について、

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ の絶対値は、$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$ です。

偏角は、$\arctan\left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、$w_1$ は $z$ を原点中心に$\frac{\pi}{6}$回転させた点となります。（拡大・縮小はされません。）

(2) $w_2 = (1-i)z$ について、

$1-i$ の絶対値は、$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ です。

偏角は、$\arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$w_2$ は $z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{4}$回転させ、$\sqrt{2}$倍に拡大した点となります。

(3) $w_3 = -iz$ について、

$-i$ の絶対値は、$\sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$ です。

偏角は、$-\frac{\pi}{2}$ です。

したがって、$w_3$ は $z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{2}$回転させた点となります。（拡大・縮小はされません。）

3. 最終的な答え

(1) 原点中心に $\frac{\pi}{6}$回転

(2) 原点中心に $-\frac{\pi}{4}$回転し、$\sqrt{2}$倍に拡大

(3) 原点中心に $-\frac{\pi}{2}$回転