$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+3)$ を計算し、因数分解された式で解答します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+3)$ を計算し、因数分解された式で解答します。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+3)$ を展開します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+3) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 3k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n-1} k$ を求めます。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

共通因数 $\frac{(n-1)n}{6}$ でくくります。

$\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{9(n-1)n}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1+9)}{6} = \frac{(n-1)n(2n+8)}{6}$

さらに、$2$を括りだして約分します。

$\frac{(n-1)n(2n+8)}{6} = \frac{(n-1)n \cdot 2(n+4)}{6} = \frac{(n-1)n(n+4)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)n(n+4)}{3}$