数列 $3, 4, 7, 16, 35, 68, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $3, 4, 7, 16, 35, 68, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を調べる。

階差数列は $4-3=1, 7-4=3, 16-7=9, 35-16=19, 68-35=33, \dots$ となる。

さらに、この階差数列の階差数列を調べる。

$3-1=2, 9-3=6, 19-9=10, 33-19=14, \dots$ となる。

さらに、この階差数列の階差数列を調べる。

$6-2=4, 10-6=4, 14-10=4, \dots$ となる。

3回目の階差数列が定数 4 になったので、元の数列は3次式で表されると予想できる。

$a_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$ とおく。

$a_1 = A+B+C+D = 3$

$a_2 = 8A+4B+2C+D = 4$

$a_3 = 27A+9B+3C+D = 7$

$a_4 = 64A+16B+4C+D = 16$

これらの連立方程式を解く。

$a_2 - a_1 = 7A+3B+C = 1$

$a_3 - a_2 = 19A+5B+C = 3$

$a_4 - a_3 = 37A+7B+C = 9$

さらに階差をとると

$(19A+5B+C) - (7A+3B+C) = 12A+2B = 2$

$(37A+7B+C) - (19A+5B+C) = 18A+2B = 6$

さらに階差をとると

$(18A+2B) - (12A+2B) = 6A = 4$

$A = \frac{2}{3}$

$12A+2B=2$ に代入して $12(\frac{2}{3}) + 2B = 2$ より $8+2B = 2$ なので $2B = -6$ ゆえに $B = -3$

$7A+3B+C=1$ に代入して $7(\frac{2}{3})+3(-3)+C=1$ より $\frac{14}{3} -9 + C = 1$ なので $C = 10 - \frac{14}{3} = \frac{16}{3}$

$A+B+C+D = 3$ に代入して $\frac{2}{3}-3+\frac{16}{3}+D = 3$ より $\frac{18}{3} -3 + D = 3$ なので $6-3+D=3$ ゆえに $3+D=3$ なので $D=0$

したがって $a_n = \frac{2}{3}n^3 - 3n^2 + \frac{16}{3}n$

$a_n = \frac{2n^3 - 9n^2 + 16n}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n^3 - 9n^2 + 16n}{3}$