複素数平面上の問題です。 (1) $z = x + yi$ (x, y は実数)のとき、$x$, $y$ を $z$, $\bar{z}$ を用いて表せ。 (2) $xy$ 平面上の直線 $y = 2x + 1$ が、複素数平面上では、ある複素数 $\alpha$ を用いて、$\alpha z + \bar{\alpha} \bar{z} = 1$ と表せるとき、$\alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上の問題です。

(1) $z = x + yi$ (x, y は実数)のとき、$x$, $y$ を $z$, $\bar{z}$ を用いて表せ。

(2) $xy$ 平面上の直線 $y = 2x + 1$ が、複素数平面上では、ある複素数 $\alpha$ を用いて、$\alpha z + \bar{\alpha} \bar{z} = 1$ と表せるとき、$\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$z = x + yi$ より、$\bar{z} = x - yi$ である。

$z + \bar{z} = (x + yi) + (x - yi) = 2x$

よって、

$x = \frac{z + \bar{z}}{2}$

$z - \bar{z} = (x + yi) - (x - yi) = 2yi$

よって、

$y = \frac{z - \bar{z}}{2i}$

(2)

$y = 2x + 1$ に、$x = \frac{z + \bar{z}}{2}$、$y = \frac{z - \bar{z}}{2i}$ を代入する。

$\frac{z - \bar{z}}{2i} = 2 \cdot \frac{z + \bar{z}}{2} + 1$

$\frac{z - \bar{z}}{2i} = z + \bar{z} + 1$

$z - \bar{z} = 2i(z + \bar{z} + 1)$

$z - \bar{z} = 2iz + 2i\bar{z} + 2i$

$z - 2iz - \bar{z} - 2i\bar{z} = 2i$

$(1 - 2i)z + (-1 - 2i)\bar{z} = 2i$

両辺を $-2i$ で割ると

$\frac{(1 - 2i)z}{2i} + \frac{(-1 - 2i)\bar{z}}{2i} = 1$

$\frac{(1 - 2i)}{2i}z + \frac{(-1 - 2i)}{2i}\bar{z} = 1$

$\frac{(1 - 2i)(-2i)}{2i(-2i)}z + \frac{(-1 - 2i)(-2i)}{2i(-2i)}\bar{z} = 1$

$\frac{-2i - 4}{4}z + \frac{2i - 4}{4}\bar{z} = 1$

$\frac{-4 - 2i}{4}z + \frac{-4 + 2i}{4}\bar{z} = 1$

$(-1 - \frac{1}{2}i)z + (-1 + \frac{1}{2}i)\bar{z} = 1$

ここで $\alpha z + \bar{\alpha} \bar{z} = 1$ と比較すると

$\alpha = -1 - \frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{z + \bar{z}}{2}$, $y = \frac{z - \bar{z}}{2i}$

(2) $\alpha = -1 - \frac{1}{2}i$