$\omega$ を $x^3 = 1$ の虚数解の一つとするとき、$(1+\omega^2)^3(2+\omega) + (1+\omega)^3(2+\omega^2)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\omega$ を $x^3 = 1$ の虚数解の一つとするとき、$(1+\omega^2)^3(2+\omega) + (1+\omega)^3(2+\omega^2)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 1 = 0$ を因数分解すると、

$(x-1)(x^2+x+1)=0$

$\omega$ は虚数解なので、$\omega^2+\omega+1 = 0$ となります。

また、$\omega^3 = 1$ であることも重要です。

$1+\omega^2 = -\omega$

$1+\omega = -\omega^2$

であるから、与えられた式は以下のように変形できます。

$(-\omega)^3(2+\omega) + (-\omega^2)^3(2+\omega^2) = -\omega^3(2+\omega) - \omega^6(2+\omega^2)$

$\omega^3 = 1$ なので、

$-(2+\omega) - (2+\omega^2) = -2-\omega -2-\omega^2 = -4 - (\omega+\omega^2)$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より $\omega + \omega^2 = -1$ であるから、

$-4 - (\omega+\omega^2) = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3$

3. 最終的な答え

-3