例題2として、数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2k(k-2)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

例題2として、数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2k(k-2)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} 2k(k-2)$ を計算します。 まず、総和の中の式を展開します。

$2k(k-2) = 2k^2 - 4k$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 4k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用います。

したがって、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k = 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1-6)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(2n-5)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n-5)}{3}$