2つの方程式が与えられています。 1つ目の2次方程式 $x^2 + 2(a - \sqrt{3})x - 3\sqrt{3}a + 9 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件と、2つ目の2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ が虚数解を持つ条件を満たす $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの方程式が与えられています。

1つ目の2次方程式 $x^2 + 2(a - \sqrt{3})x - 3\sqrt{3}a + 9 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件と、2つ目の2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ が虚数解を持つ条件を満たす $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1つ目の2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を求めます。

判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 > 0$ でなければなりません。

$D_1 = \{2(a - \sqrt{3})\}^2 - 4(1)(-3\sqrt{3}a + 9)$

$= 4(a^2 - 2\sqrt{3}a + 3) + 12\sqrt{3}a - 36$

$= 4a^2 - 8\sqrt{3}a + 12 + 12\sqrt{3}a - 36$

$= 4a^2 + 4\sqrt{3}a - 24$

$D_1 > 0$ より

$4a^2 + 4\sqrt{3}a - 24 > 0$

$a^2 + \sqrt{3}a - 6 > 0$

$a = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 24}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{2}$

$a = \sqrt{3}, -2\sqrt{3}$

よって、$a < -2\sqrt{3}$ または $a > \sqrt{3}$

次に、2つ目の2次方程式が虚数解を持つ条件を求めます。

判別式を $D_2$ とすると、$D_2 < 0$ でなければなりません。

$D_2 = a^2 - 4(1)(1) = a^2 - 4$

$a^2 - 4 < 0$

$(a - 2)(a + 2) < 0$

$-2 < a < 2$

上記の2つの条件を同時に満たす $a$ の範囲を求めます。

$a < -2\sqrt{3}$ または $a > \sqrt{3}$

$-2 < a < 2$

$a < -2\sqrt{3} \approx -3.46$ なので、$a < -2\sqrt{3}$ は $-2 < a < 2$ を満たしません。

$a > \sqrt{3} \approx 1.73$ なので、$\sqrt{3} < a < 2$ が条件を満たす範囲です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} < a < 2$