多項式 $P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + (b-5)x + a - 2b + 10$ が与えられており、$P(-1) = 0$ である。ここで、$a, b$ は実数の定数である。 (1) $b$ の値を求める。 (2) $P(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。また、そのとき、異なる3つの実数解の和を $p$, 積を $q$ とおき、$p^2 + 3q + 5 = 0$ となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + (b-5)x + a - 2b + 10$ が与えられており、$P(-1) = 0$ である。ここで、$a, b$ は実数の定数である。

(1) $b$ の値を求める。

(2) $P(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。また、そのとき、異なる3つの実数解の和を $p$, 積を $q$ とおき、$p^2 + 3q + 5 = 0$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(-1) = 0$ より、

$(-1)^3 - (a-1)(-1)^2 + (b-5)(-1) + a - 2b + 10 = 0$

$-1 - (a-1) - (b-5) + a - 2b + 10 = 0$

$-1 - a + 1 - b + 5 + a - 2b + 10 = 0$

$-3b + 15 = 0$

$3b = 15$

$b = 5$

(2) $b=5$ を $P(x)$ に代入すると、

$P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + (5-5)x + a - 2(5) + 10$

$P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + a$

$P(-1) = 0$ より、$P(x)$ は $x+1$ を因数に持つ。

$P(x) = (x+1)(x^2 + cx + a)$ とおくと、$x^3$ の係数と定数項から

$P(x) = (x+1)(x^2 - ax + a)$

展開すると、$x^3 - ax^2 + ax + x^2 - ax + a = x^3 - (a-1)x^2 + a$ となり正しい。

したがって、$P(x) = (x+1)(x^2 - ax + a)$

$P(x) = 0$ が虚数解を持つのは、$x^2 - ax + a = 0$ が虚数解を持つとき。

判別式を $D$ とすると、$D = (-a)^2 - 4(1)(a) = a^2 - 4a < 0$

$a(a-4) < 0$

$0 < a < 4$

(3) $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つとき、

$x^2 - ax + a = 0$ が $x = -1$ 以外の異なる2つの実数解を持つ必要がある。

$x^2 - ax + a = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = a^2 - 4a > 0$

$a(a-4) > 0$

$a < 0$ または $a > 4$

また、$x=-1$ を代入すると $(-1)^2 - a(-1) + a \neq 0$ である必要がある。

$1 + a + a \neq 0$

$2a \neq -1$

$a \neq -\frac{1}{2}$

したがって、$a < 0$ または $a > 4$ かつ $a \neq -\frac{1}{2}$ であるから、$a < -\frac{1}{2}$ , $-\frac{1}{2} < a < 0$ , $a > 4$

$P(x) = 0$ の3つの解を $-1, \alpha, \beta$ とすると、

$p = -1 + \alpha + \beta$

$q = (-1)(\alpha)(\beta) = -\alpha\beta$

$x^2 - ax + a = 0$ の解と係数の関係より、$\alpha + \beta = a, \alpha\beta = a$

$p = -1 + a$

$q = -a$

$p^2 + 3q + 5 = 0$ より、

$(-1+a)^2 + 3(-a) + 5 = 0$

$1 - 2a + a^2 - 3a + 5 = 0$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

$(a-2)(a-3) = 0$

$a = 2, 3$

$a < -\frac{1}{2}$ , $-\frac{1}{2} < a < 0$ , $a > 4$ を満たさないので、条件を満たす $a$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $b = 5$

(2) $P(x) = (x+1)(x^2 - ax + a)$ , $0 < a < 4$

(3) $a < -\frac{1}{2}$ , $-\frac{1}{2} < a < 0$ , $a > 4$ , 存在しない