次の4つの式を因数分解します。 (1) $x^4 + 5x^2 + 9$ (2) $x^4 - 3x^2 + 1$ (3) $x^4 - 6x^2 + 1$ (4) $x^4 + 4$

はい、承知いたしました。次の因数分解の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解します。

(1) $x^4 + 5x^2 + 9$

(2) $x^4 - 3x^2 + 1$

(3) $x^4 - 6x^2 + 1$

(4) $x^4 + 4$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 5x^2 + 9$

この式を平方完成の形に持ち込むことを考えます。$x^4 + 6x^2 + 9$ であれば $(x^2+3)^2$ となりますが、$x^2$ が余分なので引きます。

$x^4 + 5x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 + 9 - x^2 = (x^2+3)^2 - x^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、次のように因数分解できます。

$(x^2+3)^2 - x^2 = (x^2+3+x)(x^2+3-x) = (x^2+x+3)(x^2-x+3)$

(2) $x^4 - 3x^2 + 1$

これも平方完成の形に持ち込みます。$x^4 - 2x^2 + 1$ であれば $(x^2-1)^2$ となります。

$x^4 - 3x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2-1)^2 - x^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、次のように因数分解できます。

$(x^2-1)^2 - x^2 = (x^2-1+x)(x^2-1-x) = (x^2+x-1)(x^2-x-1)$

(3) $x^4 - 6x^2 + 1$

これも平方完成の形に持ち込みます。$x^4 - 2x^2 + 1$ であれば $(x^2-1)^2$ となります。

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 - 4x^2 = (x^2-1)^2 - (2x)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、次のように因数分解できます。

$(x^2-1)^2 - (2x)^2 = (x^2-1+2x)(x^2-1-2x) = (x^2+2x-1)(x^2-2x-1)$

(4) $x^4 + 4$

$x^4 + 4x^2 + 4$ であれば $(x^2+2)^2$ となります。

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、次のように因数分解できます。

$(x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2+2x)(x^2+2-2x) = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2+x+3)(x^2-x+3)$

(2) $(x^2+x-1)(x^2-x-1)$

(3) $(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)$

(4) $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$