正の整数 $x, y$ について、$x^2 + y^2 = axy$ が成り立つとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

正の整数 $x, y$ について、$x^2 + y^2 = axy$ が成り立つとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 + y^2 = axy$ を変形します。

$x^2 - axy + y^2 = 0$

$x, y$ は正の整数であるから、$x=y$の場合を考えます。

$x^2 + x^2 = ax^2$

$2x^2 = ax^2$

$a = 2$

このとき、$x^2 + y^2 = 2xy$ となり、

$(x - y)^2 = 0$

$x = y$

次に、$x \neq y$ の場合を考えます。

$x^2 - axy + y^2 = 0$ を $x$ に関する二次方程式と見ると、

$x = \frac{ay \pm \sqrt{a^2y^2 - 4y^2}}{2} = \frac{ay \pm y\sqrt{a^2 - 4}}{2} = \frac{y(a \pm \sqrt{a^2 - 4})}{2}$

$x$が整数であるためには、$a^2-4$が平方数である必要があります。

$a^2 - 4 = k^2$ (kは整数)

$a^2 - k^2 = 4$

$(a - k)(a + k) = 4$

$a, k$ は整数なので、$a - k$ と $a + k$ は整数の組で4の約数である必要があります。

4の約数の組み合わせは $(1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1)$ です。

$a - k = 1, a + k = 4$ のとき、 $2a = 5$ となり $a = 2.5$ となるので不適。

$a - k = 2, a + k = 2$ のとき、 $2a = 4$ となり $a = 2$。これは最初に考えた$x = y$の場合と同じ。

$a - k = 4, a + k = 1$ のとき、$2a = 5$ となり $a = 2.5$ となるので不適。

$a - k = -1, a + k = -4$ のとき、$2a = -5$ となり $a = -2.5$ となるので不適。

$a - k = -2, a + k = -2$ のとき、$2a = -4$ となり $a = -2$。

$a - k = -4, a + k = -1$ のとき、$2a = -5$ となり $a = -2.5$ となるので不適。

$a = 2$ 以外に解がないか検討します。

$x^2 + y^2 = axy$をみたす$x, y$が存在すると仮定します。 $x, y > 0$なので、$a > 0$。

$x/y = t$とすると、$t^2 - at + 1 = 0$.

この解は $t = (a \pm \sqrt{a^2 - 4})/2$。

$a^2 > 4$のとき$a > 2$.

もし$x \neq y$とすると、背理法で$x$と$y$を最小にできます。

3. 最終的な答え

$a = 2$