与えられた2変数2次方程式 $4x^2 - 8xy - 16x + 3y^2 + 22y - 5 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2変数2次方程式 $4x^2 - 8xy - 16x + 3y^2 + 22y - 5 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を変形して、整数解を求めやすくします。

$4x^2 - (8y+16)x + (3y^2 + 22y - 5) = 0$

$x$ についての2次方程式とみて、解の公式を用いると、

$x = \frac{(8y+16) \pm \sqrt{(8y+16)^2 - 4 \cdot 4 (3y^2 + 22y - 5)}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{8y+16 \pm \sqrt{64y^2 + 256y + 256 - 48y^2 - 352y + 80}}{8}$

$x = \frac{8y+16 \pm \sqrt{16y^2 - 96y + 336}}{8}$

$x = \frac{8y+16 \pm \sqrt{16(y^2 - 6y + 21)}}{8}$

$x = \frac{8y+16 \pm 4\sqrt{y^2 - 6y + 21}}{8}$

$x = \frac{2y+4 \pm \sqrt{y^2 - 6y + 21}}{2}$

$y^2 - 6y + 21 = (y-3)^2 + 12$ であるから、$y^2 - 6y + 21$ は平方数でなければなりません。

$(y-3)^2 + 12 = k^2$ (kは整数) とおくと、$k^2 - (y-3)^2 = 12$

$(k + (y-3))(k - (y-3)) = 12$

$(k + y - 3)(k - y + 3) = 12$

積が12となる整数の組み合わせを考えます。

(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -2), (-12, -1)

これらの組み合わせについて、以下の連立方程式を解きます。

$k + y - 3 = a$

$k - y + 3 = b$

ここで $ab = 12$。

2式を足し合わせると、$2k = a + b$

2式を引き算すると、$2(y-3) = a - b$ より $y = \frac{a - b}{2} + 3$

$k$ と $y$ は整数である必要があるので、$a+b$ と $a-b$ は偶数でなければなりません。

つまり、$a$ と $b$ はともに偶数か、ともに奇数である必要があります。

積が12となる整数の組み合わせのうち、ともに偶数となるのは、(2, 6), (6, 2), (-2, -6), (-6, -2) の4つです。

1. (2, 6) のとき、 $y = (2 - 6)/2 + 3 = -2 + 3 = 1$

$x = \frac{2(1)+4 \pm \sqrt{(1-3)^2+12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$x = \frac{10}{2} = 5$ または $x = \frac{2}{2} = 1$

$(x, y) = (5, 1)$ または $(1, 1)$

2. (6, 2) のとき、 $y = (6 - 2)/2 + 3 = 2 + 3 = 5$

$x = \frac{2(5)+4 \pm \sqrt{(5-3)^2+12}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{14 \pm 4}{2}$

$x = \frac{18}{2} = 9$ または $x = \frac{10}{2} = 5$

$(x, y) = (9, 5)$ または $(5, 5)$

3. (-2, -6) のとき、 $y = (-2 - (-6))/2 + 3 = 2 + 3 = 5$

$x = \frac{2(5)+4 \pm \sqrt{(5-3)^2+12}}{2} = \frac{14 \pm 4}{2}$

$x = 9$ または $x = 5$

$(x, y) = (9, 5)$ または $(5, 5)$

4. (-6, -2) のとき、 $y = (-6 - (-2))/2 + 3 = -2 + 3 = 1$

$x = \frac{2(1)+4 \pm \sqrt{(1-3)^2+12}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$x = 5$ または $x = 1$

$(x, y) = (5, 1)$ または $(1, 1)$

したがって、$(x, y) = (1, 1), (5, 1), (5, 5), (9, 5)$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (1, 1), (5, 1), (5, 5), (9, 5)$