$x^n$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りを $a_n x + b_n$ と表す。 (1) $a_{16} - b_{16}$ を求めよ。 (2) $a_n, b_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x^n$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りを $a_n x + b_n$ と表す。

(1) $a_{16} - b_{16}$ を求めよ。

(2) $a_n, b_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^n$ を $(x+1)^2$ で割った余りを $a_n x + b_n$ と表すことから、

$x^n = (x+1)^2 Q(x) + a_n x + b_n$ となる。

ここで、$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^n = -a_n + b_n$

$a_n - b_n = -(-1)^n$

$n=16$ のとき、$a_{16} - b_{16} = -(-1)^{16} = -1$

(2) $f(x) = x^n = (x+1)^2 Q(x) + a_n x + b_n$

$x+1 = t$ とおくと、$x = t-1$ となるので、

$f(t-1) = (t-1)^n = t^2 Q(t-1) + a_n (t-1) + b_n$

$(t-1)^n = t^2 Q(t-1) + a_n t - a_n + b_n$

$(t-1)^n$ を $t$ で展開すると、

$(t-1)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k t^k (-1)^{n-k} = (-1)^n + {}_nC_1 t (-1)^{n-1} + {}_nC_2 t^2 (-1)^{n-2} + \cdots + t^n$

$= (-1)^n + nt (-1)^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} t^2 (-1)^{n-2} + \cdots + t^n$

$(-1)^n + nt (-1)^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} t^2 (-1)^{n-2} + \cdots = t^2 Q(t-1) + a_n t - a_n + b_n$

ここで定数項を比較すると、

$(-1)^n = -a_n + b_n$

$b_n = a_n + (-1)^n$

次に、$t$ の係数を比較すると、

$n (-1)^{n-1} = a_n$

$a_n = n(-1)^{n-1} = -n(-1)^n$

したがって、$b_n = a_n + (-1)^n = n(-1)^{n-1} + (-1)^n = (1-n)(-1)^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_{16} - b_{16} = -1$

(2) $a_n = n(-1)^{n-1}$

$b_n = (1-n)(-1)^n$