## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

6つの問題があります。

(1) 指数方程式 $25^x = 5^{x+3}$ を解く。

(2) 対数方程式 $\log_3 x + \log_3 (x+2) = 1$ を解く。

(3) $-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ かつ $\cos \theta = \frac{1}{3}$ が成り立つとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(4) $\alpha$ が鋭角、$\beta$ が鈍角で、$\sin \alpha = \frac{1}{7}$、$\sin \beta = \frac{11}{14}$ のとき、$\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

(5) 極限 $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 + 1}$ を求める。

(6) 極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}}$ を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 指数方程式**

$25^x = 5^{x+3}$ より、$(5^2)^x = 5^{x+3}$。

したがって、$5^{2x} = 5^{x+3}$。

指数部分を比較して、$2x = x + 3$。

これを解くと、$x = 3$。

**(2) 対数方程式**

$\log_3 x + \log_3 (x+2) = 1$ より、$\log_3 [x(x+2)] = 1$。

したがって、$x(x+2) = 3^1 = 3$。

$x^2 + 2x - 3 = 0$。

$(x+3)(x-1) = 0$。

$x = -3, 1$。

対数の真数条件より、$x > 0$ かつ $x+2 > 0$ でなければならないので、$x>0$。

したがって、$x=1$。

**(3) 三角関数の値**

$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ で $\cos \theta = \frac{1}{3}$。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$。

したがって、$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ より、$\sin \theta < 0$ なので、$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$。

**(4) 三角関数の加法定理**

$\sin \alpha = \frac{1}{7}$ (鋭角) より、$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$。

$\sin \beta = \frac{11}{14}$ (鈍角) より、$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - (\frac{11}{14})^2} = -\sqrt{1 - \frac{121}{196}} = -\sqrt{\frac{75}{196}} = -\frac{5\sqrt{3}}{14}$。

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (\frac{4\sqrt{3}}{7})(-\frac{5\sqrt{3}}{14}) - (\frac{1}{7})(\frac{11}{14}) = -\frac{60}{98} - \frac{11}{98} = -\frac{71}{98}$。

**(5) 極限**

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x+1)(x^2 - x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x^2 - x + 1}$。

$x = -1$ を代入して、$\frac{1}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$。

**(6) 極限**

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})}{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x+1-x)(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})}{(x+2-(x-1))(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}{3(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x(1+\frac{2}{x})} + \sqrt{x(1-\frac{1}{x})}}{3(\sqrt{x(1+\frac{1}{x})} + \sqrt{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}})}{3\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}}{3(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)}$。

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ より、$\frac{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}}{3(\sqrt{1+0} + 1)} = \frac{1+1}{3(1+1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

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3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $x = 1$

(3) $\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \theta = -2\sqrt{2}$

(4) $\cos(\alpha + \beta) = -\frac{71}{98}$

(5) $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 + 1} = \frac{1}{3}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}} = \frac{1}{3}$