$n$ ($n \ge 2$) 次の多項式 $f(x)$ が、$f(k) = \frac{1}{k+1}$ ($k = 0, 1, 2, ..., n$) を満たすとき、$f(n+1)$ の値を $n$ で表す問題です。

1. 問題の内容

$n$ ($n \ge 2$) 次の多項式 $f(x)$ が、$f(k) = \frac{1}{k+1}$ ($k = 0, 1, 2, ..., n$) を満たすとき、$f(n+1)$ の値を $n$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = (x+1)f(x) - 1$ という関数を定義します。

$g(x)$ は $n+1$ 次の多項式であり、$g(k) = (k+1)f(k) - 1 = (k+1)\frac{1}{k+1} - 1 = 1 - 1 = 0$ を $k = 0, 1, 2, ..., n$ で満たします。

したがって、$g(x)$ は $x(x-1)(x-2)...(x-n)$ を因数に持ちます。

$g(x)$ は $n+1$ 次の多項式なので、$g(x) = c \cdot x(x-1)(x-2)...(x-n)$ と表せます。ここで、$c$ は定数です。

$g(x) = (x+1)f(x) - 1$ であったので、$(x+1)f(x) - 1 = c \cdot x(x-1)(x-2)...(x-n)$ です。

つまり、$(x+1)f(x) = c \cdot x(x-1)(x-2)...(x-n) + 1$ です。

$x = -1$ を代入すると、$0 = c \cdot (-1)(-2)(-3)...(-n-1) + 1$ より、

$c \cdot (-1)^{n+1}(n+1)! + 1 = 0$

$c \cdot (-1)^{n+1}(n+1)! = -1$

$c = \frac{-1}{(-1)^{n+1}(n+1)!} = \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!} = \frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}$

したがって、$(x+1)f(x) = \frac{(-1)^{n}}{(n+1)!} x(x-1)(x-2)...(x-n) + 1$ です。

$x = n+1$ を代入すると、

$(n+2)f(n+1) = \frac{(-1)^{n}}{(n+1)!} (n+1)n(n-1)...1 + 1$

$(n+2)f(n+1) = \frac{(-1)^{n}}{(n+1)!} (n+1)! + 1$

$(n+2)f(n+1) = (-1)^{n} + 1$

$f(n+1) = \frac{(-1)^{n} + 1}{n+2}$

3. 最終的な答え

$f(n+1) = \frac{(-1)^{n} + 1}{n+2}$